Gegeben ist das folgende, liegende Prisma:
Liegendes Dreieck-Prisma
Die Seiten des Dreiecks sind bekannt und auch die Tiefe des Prismas ist bekannt: Die Grundseite g = 9 cm, die beiden anderen Seiten des Dreiecks s = 5,5 cm. Ebenfalls bekannt ist die Länge l des Prismas l = 12 cm.
Teilaufgabe a)
Berechne die Oberfläche des Prismas:
A.1.
Aus wievielen Teilflächen setzt sich die Oberfläche zusammen?
2 mal die Vorderansicht VS,
2 mal die Seitenansicht SS und
einmal die Unterseite US
A.2.
Wie muss ich aus den Teilflächen die Oberfläche Ages berechnen?
A_{ges} = 2 \cdot A_{VS} +2 \cdot A_{SS} +A_{US} A.3.
Welche Teil-Flächen habe ich?
VS: Dreieck
SS: Rechteck
US: Rechteck
A.4.
Die Formeln für die Flächen:
\begin{aligned}\\
A_{VS} \;&= \frac 1 2 \cdot g \cdot h\\
\\
A_{SS}= A_{US} \;&=a \cdot b\\
\end{aligned}\\
A.5.
Und los geht es, berechnen wir die Teilflächen, fangen wir mit den „leichten“ Teilflächen an:
\begin {aligned} \\
A_{SS} \;&=a \cdot b = s \cdot l = 5,5\ cm \cdot 12\ cm = 66\ cm^2\\
\\
A_{US}\;&=a \cdot b = g \cdot l = 9\ cm \cdot 12\ cm = 108\ cm^2\\
\end {aligned} \\A.6.
Und weiter, die Dreieckfläche:
A_{VS} = \frac 1 2 \cdot g \cdot h = ...\\Oh, die Höhe h ist nicht bekannt! Also zuerst die Höhe h berechnen! Da haben wir ein rechteckiges Dreieck! Das gleichseitige Dreieck besteht aus 2 (gespiegelten) rechtwinkligen Dreiecken, also weiter mit Pythagoras:
\begin {aligned} \\
a^2+b^2 \;&= c^2\\
h^2+( \frac 1 2 \cdot g )^2 \;&= s^2\\
h^2 \;&=s^2-( \frac 1 2 \cdot g )^2\\
h^2 \;&= (5,5\ cm)^2-( \frac 1 2 \cdot 9\ cm )^2\\
h^2 \;&=30,25\ cm^2-20,25\ cm^2\\
h^2\;&=10\ cm^2\\
h\;&=\sqrt {10} \ cm\\
\;&=3,162278 \ cm\\
\end {aligned} \\A.7.
Da war noch die Fläche AVS zu berechnen …
A_{VS} = \frac 1 2 \cdot g \cdot h = \frac 1 2 \cdot 9\ cm \cdot 3,162278\ cm = 14,2302 cm^2\\A.8.
Und jetzt aus den Teilflächen die Gesamtfläche berechnen:
\begin {aligned} \\
A_{ges} \;&= 2 \cdot A_{VS} +2 \cdot A_{SS} +A_{US} \\
\\
\;&= 2\cdot 14,2302\ cm^2+2\cdot 66\ cm^2+108\ cm^2\\
\\
\;&= 268,4605\ cm^2
\end {aligned} \\Teilaufgabe b)
dagegen ist richtig einfach:
V = A_{VS} \cdot l= 14,2302 cm^2 \cdot 12\ cm = 170,763\ cm^3\\