Hier ist ein Quadrat mit Seitenlänge h (bitte bemaßen), die Fläche A des Quadrats ist:
A = h^2
Die Seiten des Quadrats werden (ungleichmäßig) in zwei Längen a und b unterteilt, wie in der Skizze (bitte bemaße die Seiten).
Berechne die Flächen der beiden Quadrate und die Flächen der beiden Rechtecke:
A_{Quadrat 1} = a^2\\
A_{Quadrat 2} = b^2\\
A_{Rechtecke} = 2 \cdot a\cdot b\\ Wir unterteilen das gleiche Quadrat (Seite h) wieder, diesmal so, dass ein schräges Quadrat im Innern liegt! (Bitte bemaße auch hier wieder die Zeichnung)
Berechne die Fläche der blauen Dreiecke.
A_{Dreiecke} = 4 \cdot \frac 1 2 \cdot a \cdot b \\
\\
= 2 \cdot a \cdot b Vergleiche die (blauen) Flächen der beiden Rechtecke mit den (blauen) Flächen der vier Dreiecke!
- Diese sind beide gleich groß!
Bei der ersten Unterteilung des (großen) Quadrats haben wir als Fläche der beiden (roten) Quadrate:
A_{rot 1} = a^2+b^2Bei der zweiten Unterteilung haben wir als Fläche des inneren (roten) Quadrats (wenn wir die Seitenlänge als c benennen):
A_{rot 2} = c^2Sind die beiden (blauen) (Teil-) Flächen gleich, so müssen auch die roten Flächen gleich sein! Damit können wir ein kleines, rechtwinkliges Dreieck (abc) ansehen und die gleiche Aussage treffen:
A_{rot 2} = c^2 = a^2 + b^2 = A_{rot 1}\\
\\
a^2 + b^2 = c^2\\