Kategorie: Quali Mathe

Konstruiere ein Sechseck mit Seitenlänge l = 5 cm

Die Konstruktion muss jeder können! Die Berechnung der Fläche ist Grundübung. Die Fläche des Sechsecks wird auf die Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks zurück geführt.

\begin {aligned} \\
A_6 & = 6 \cdot  A_{3-gleichseitig}\\
A_{3-gleichseitig} & = 2 \cdot A_{3-rechtwinklig}\\
A_{3-MEF} & = 2 \cdot A_{3-MGF}\\
\end {aligned} \\

Damit wir die Fläche A berechnen können,

A = \frac 1 2 \cdot g \cdot h

brauchen wir die Grundseite g (GF), die ist die Hälfte der Sechseckseite, g = 2,5 cm!

Und nun brauchen wir vom Dreieck (MGF) die Höhe h (MG)! Die Diagonale (MF) ist genau so lang wie die Seitenlänge des Sechsecks (5 cm) , die Grundseite (GF) ist halb so lang (2,5 cm). Diagonale und eine Seite schreit nach Pythagoras:

\begin {aligned} \\
a^2+b^2 &= c^2\\
a &= h\\
h^2 &= c^2 -b^2\\
h^2 &= 5^2 \ cm^2-2,5^2 \ cm^2\\
&= 25 \ cm^2 -6,25\ cm^2\\
&=18,75 \ cm^2\\
h & = 4,33013 \ cm
\end {aligned} \\

Mit dieser Höhe h kann nun die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden und damit dann die Gesamtfläche A des Sechsecks …

\begin {aligned} \\
A_{MGF} &=  \frac 1 2 \cdot g \cdot h\\
&= \frac 1 2 \cdot 2,5 \ cm \cdot 4,33013 \ cm\\
&= \frac 1 2 \cdot 10,8253 \ cm^2 \\
&= 5,4127 \ cm^2\\
\\
A_6 &= 12 \cdot A_{MGF} \\
&= 64,951905 \ cm^2
\end {aligned} \\

Berechne die Fläche A und den Umfang U des Quadrats.

geg.:

\begin {aligned} \\
A_{DE oben} \;&= 144 cm^2\\
h \;&= 12 \ cm\\
c \;&= 40  \ cm\\
\end {aligned} \\

Beim oberen Dreieck sind Fläche A und die Höhe h bekannt. Damit kann die Grundseite g berechnet werden.

\begin {aligned} \\
A \;&= \frac 1 2 \cdot g \cdot h\\
g \;&= 2 \cdot \frac A h\\
\;&= b = 2 \cdot 144 \ cm^2 / 12 \ cm\\
\;&= 24 \ cm\\
\end {aligned} \\

Beim zentralen Dreieck ist somit eine Kathete und die Hypothenuse (40 cm) bekannt. Mit Pythagoras lässt sich die zweite Kathete berechnen:

\begin {aligned} \\
a^2 + b^2 \;& = c^2\\
a^2 \;& = c^2 - b^2\\
\;& =40 \ cm \cdot 40 \ cm - 24 \ cm \cdot 24 \ cm\\
\;& =1600 \ cm^2-576 \ cm^2\\
\;& =A = 1024 \ cm^2\\
\\
a \;& = 32 \ cm\\
U\;& = 4 \cdot a = 4 \cdot 32 \ cm = 128 \ cm
\end {aligned} \\

Gegeben ist das folgende, liegende Prisma:

Liegendes Dreieck-Prisma

Die Seiten des Dreiecks sind bekannt und auch die Tiefe des Prismas ist bekannt: Die Grundseite g = 9 cm, die beiden anderen Seiten des Dreiecks s = 5,5 cm. Ebenfalls bekannt ist die Länge l des Prismas l = 12 cm.

Teilaufgabe a)
Berechne die Oberfläche des Prismas:

A.1.
Aus wievielen Teilflächen setzt sich die Oberfläche zusammen?

2 mal die Vorderansicht VS,
2 mal die Seitenansicht SS und
einmal die Unterseite US

A.2.
Wie muss ich aus den Teilflächen die Oberfläche A_ges berechnen?

A_{ges} = 2 \cdot A_{VS} +2 \cdot A_{SS} +A_{US}  

A.3.
Welche Teil-Flächen habe ich?
VS: Dreieck
SS: Rechteck
US: Rechteck

A.4.
Die Formeln für die Flächen:

\begin{aligned}\\
A_{VS}  \;&= \frac 1 2 \cdot g \cdot h\\
\\
A_{SS}= A_{US}  \;&=a \cdot b\\
\end{aligned}\\

A.5.
Und los geht es, berechnen wir die Teilflächen, fangen wir mit den „leichten“ Teilflächen an:

\begin {aligned} \\
A_{SS} \;&=a \cdot b = s \cdot l = 5,5\ cm \cdot 12\ cm = 66\ cm^2\\
\\
A_{US}\;&=a \cdot b = g \cdot l = 9\ cm \cdot 12\ cm = 108\ cm^2\\
\end {aligned} \\

A.6.
Und weiter, die Dreieckfläche:

A_{VS} = \frac 1 2 \cdot g \cdot h = ...\\

Oh, die Höhe h ist nicht bekannt! Also zuerst die Höhe h berechnen! Da haben wir ein rechteckiges Dreieck! Das gleichseitige Dreieck besteht aus 2 (gespiegelten) rechtwinkligen Dreiecken, also weiter mit Pythagoras:

\begin {aligned} \\
a^2+b^2 \;&= c^2\\
h^2+( \frac 1 2 \cdot g )^2 \;&= s^2\\
h^2 \;&=s^2-( \frac 1 2 \cdot g )^2\\
h^2 \;&= (5,5\ cm)^2-( \frac 1 2 \cdot 9\ cm )^2\\
h^2 \;&=30,25\ cm^2-20,25\ cm^2\\
h^2\;&=10\ cm^2\\
h\;&=\sqrt {10} \ cm\\
\;&=3,162278 \ cm\\
\end {aligned} \\

A.7.
Da war noch die Fläche A_VS zu berechnen …

A_{VS} = \frac 1 2 \cdot g \cdot h = \frac 1 2 \cdot 9\ cm \cdot 3,162278\ cm = 14,2302 cm^2\\

A.8.
Und jetzt aus den Teilflächen die Gesamtfläche berechnen:

\begin {aligned} \\
A_{ges} \;&= 2 \cdot A_{VS} +2 \cdot A_{SS} +A_{US}  \\
\\
\;&= 2\cdot 14,2302\ cm^2+2\cdot 66\ cm^2+108\ cm^2\\
\\
\;&= 268,4605\ cm^2
\end {aligned} \\

Teilaufgabe b)
dagegen ist richtig einfach:

V = A_{VS} \cdot l= 14,2302 cm^2 \cdot 12\ cm = 170,763\ cm^3\\